Matrizen invertieren

[Janoscharlipp]

Hi,

ich habe mich mal etwas mit Matrizen beschäftigt, und wollte nun das Invertieren einer Matrix verallgemeinern.
Dazu wollte ich erstmal eine Matrix 2x2 allgemein invertieren, und dann noch eine 3x3, und dann schauen, ob sich ein System erkennen lässt.

Bei der 2x2 ging das recht schnell, ich ging von folgenden Voraussetzungen aus:

A = |A11  A12|
....|A21  A22|
 
B = |B11  B12|
....|B21  B22|
 
I = | 1    0 |
....| 0    1 |
 
 
A * B = I 

B wäre also das invertierte A.

Die Formeln, die daraus folgen sind:

A11 * B11  +  A12 * B21 = 1
 
A11 * B12  +  A12 * B22 = 0
 
A21 * B11  +  A22 * B21 = 0
 
A21 * B11  +  A22 * B22 = 1 

nach einigem Umformen und Einsetzen kam ich auf das hier:

................A21
B21 = -----------------------
......A12 * A21  -  A11 * A22 

der Rest ist nun einfach, ich habe es nur mit der ersten Zeile von A mit der ersten Spalte von B ausprobiert, es hat geklappt!


Sooo, nun ging es an die 3x3 Matrix.

A = |A11  A12  A13|
....|A21  A22  A23|
....|A31  A32  A33|
 
 
B = // kann man sich ja denken
 
I = // Identity-Matrix in 3x3 
 

die Formeln: ( nur für eine Spalte von B )

A11 * B11  +  A12 * B21  +  A13 * B31 = 1
 
A21 * B11  +  A22 * B21  +  A23 * B31 = 0
 
A31 * B11  +  A32 * B21  +  A33 * B31 = 0 

Nun kamen mehrere Stunden Arbeit und 3,5 Seiten Papier, randvoll mit Umformungen

Ergebnis:

.....................................................A22 * A33  -  A23 * A32
B11 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
......A11 * A22 * A33  -  A11 * A23 * A32  +  A12 * A23 * A31  -  A12 * A21 * A33  +  A13 * A32 * A21  -  A13 * A31 * A22 

Leider habe ich einmal B21 und einmal B11 gefunden, so das ein Vergleich nicht möglich ist.
Zudem habe ich soviel gerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mir kein Fehler unterlaufen ist, nicht sehr groß ist.


Meine Fragen sind:

ob jemand schon mal ähnliches gemacht hat
ob meines stimmt
ob es ein System gibt
wie man das System findet

[bokel]

Ja, das hat schon mal jemand gemacht: Der gute alte Gauss
Dazu könntest du bei Google was finden.

mfg r .

[dr_rot_kreuz]

Cholesky Algorithmus verwenden. Sollte sich in einer Matheformelsammlung wie Bronstein befinden.